Saladin miloval hádanky, a tak se mu líbil návrh vězně. „Dobře, tak to bude.“ Tady je váš problém. Zítra ráno dostanete dvanáct stejně vypadajících mincí a jednoduchou váhu bez závaží. Jedna mince bude padělaná. Ale nikdo neví, jestli je to jednodušší nebo těžší než ostatní. K určení padělku budete mít tři vážení. Pokud se nedokážete vyrovnat, pak jsou vaše záležitosti špatné.“ Jak najít falešnou minci mezi 12 mincemi ve 3 vážení? A je vůbec možné to udělat? Odpovědi na hádanky K vyřešení tohoto příkladu je třeba si zapamatovat školní pravidlo, že nejprve provedeme násobení a dělení a teprve potom sčítání a odčítání. Pokud ano, náš příklad bude mít následující podobu:
6 – 1 * 0 + 2/2 = 6 – 0 + 1 = 7. Druhý problém bude trvat déle. Komplikuje to skutečnost, že podle stavu nepoznáme, která mince je těžší: falešná nebo pravá. Není také známo, zda se rytíři podařilo najít odpověď do rána, aby se dostal ven. Zkusme to udělat za něj.
Druhý problém bude trvat déle. Komplikuje to skutečnost, že podle stavu nepoznáme, která mince je těžší: falešná nebo pravá. Není také známo, zda se rytíři podařilo najít odpověď do rána, aby se dostal ven. Zkusme to udělat za něj.
Prvním krokem je rozdělení mincí na 3 stejné hromádky po 4 mincích. Zvažme na váze první dvě várky mincí. Pokud mají stejnou váhu , pak máme štěstí a falešná mince se nachází ve třetí hromádce. Poté zvážíme libovolné dvě skutečné mince (jakékoli z první a druhé várky) a dvě mince z poslední hromádky, kde číhá jedna falešná. Pokud váhy opět ukazují rovnost, pak je padělaná mince jednou ze zbývajících dvou (z těch, kterých jsme se nedotkli). Proto po třetím kroku zvážíme jednu z nám již známých skutečných mincí s kteroukoli ze dvou zbývajících. Pokud je to znovu stejné, pak je padělaná mince ta, které jsme se nedotkli. Pokud neexistuje rovnost, pak byl také nalezen falešný. Zároveň zjistíme, zda je těžší než originál nebo lehčí. Pokud je nerovnost při druhém vážení, je nalezena dvojice s falešným. Najít falešnou minci na třetí vážení je opět snadné.
Pokud se při prvním vážení ukázalo, že jedna skupina je těžší, pak to znamená falešnou minci mezi těmito prvními osmi. Možná bude v tomto případě lepší očíslovat všechny mince: první hromádka (těžká) – 1,2,3,4; druhý (snadný) – 5,6,7,8; třetí (skutečný) – 9,10,11,12. Ve druhém kroku zvážíme mince 1,9,10,11 a 2,3,4,5. Pokud je remíza, pak falešných 6,7 nebo 8. Navíc po prvním vážení jsme se již naučili, že druhá várka je jednodušší. To znamená, že padělek je světlejší než originál. Proto vážíme 6 a 7. Což je jednodušší – ta jedna a falešná. Pokud se rovná, pak je padělaná mince 8. Pokud jsme po druhém kroku viděli, že skupina 1,9,10,11 je těžší než skupina 2,3,4,5, pak falešná je buď 1 (těžší) nebo 5 (lehčí). Stačí vážit řekněme 1 a jakoukoli skutečnou minci. Pokud je 1 těžší, pak je falešný. Pokud se rovná, pak falešný – 5. Pokud se ukáže, že skupina 2,3,4,5 je těžší, znamená to, že padělaná mince je těžší a patří mezi 2,3,4. V tomto případě vážíme například 2 a 3. Co je těžší, to je falešné. Pokud se rovná, pak bude mince s podmíněným číslem 4 falešná.
Zdroj.esoteric